Är alla kvadratiska matriser inverterbara

För andra betydelser, titta Matris (olika betydelser).

Inom matematiken existerar enstaka matris en rektangulärt schema från anförande alternativt andra storheter.

(ii) kolrang(A) = n

vid enstaka matris är kapabel tre från dem fyra elementär räknesätten utföras: addition, subtraktion samt multiplikation, dock ej division. Därutöver finns vissa räkneoperationer liksom existerar specifika till matriser, mot modell transponering. Matriser förmå användas på grund av för att hålla information såsom beror vid numeriskt värde kategorier samt till för att hålla ordning vid koefficienterna inom raka ekvationssystem samt nära raka transformationer.

Definitioner samt beteckningar

[redigera | redigera wikitext]

De horisontella raderna brukar benämnas rader, medan dem lodräta kallas kolumner alternativt kolonner. ett matris tillsammans m rader samt n kolumner kallas ett m×n-matris (m gånger n-matris) samt m samt n kallas dess dimensioner.

Kvardatiska matrisen A är inverterbar om och endast om AT är inverterbar

Elementet (ett enskilt värde alternativt formulering inom matrisen) inom ett matris A (godtyckliga matriser betecknas normalt A, B samt C) inom den i:te raden samt j:te kolumnen brukar betecknas tillsammans a_i,j inom matematiken, inom programmering skrivs identisk formulering istället A[i,j].

detta existerar vanligt för att matriser avgränsas antingen tillsammans med stora rundade parenteser alternativt tillsammans stora hakparenteser.

(Avgränsning tillsammans med enbart raka streck utan hakar brukar inte användas, till för att undvika sammanblandning tillsammans med determinanter.)

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Matrisen

är ett 4×3-matris. Elementet a_2,3 (matematiskt) alternativt A[2,3] (programmering) existerar 7.

Den följer direkt från påståendet c) från föregående satsen

Addition, subtraktion samt multiplikation

[redigera | redigera wikitext]

Addition

[redigera | redigera wikitext]

Addition från numeriskt värde matriser förutsätter för att matriserna besitter identisk dimensioner.

Om A samt B existerar numeriskt värde m×n-matriser, sålunda definieras C=A+B genom

Exempel:

Subtraktion

[redigera | redigera wikitext]

Helt analogt tillsammans med additionen gäller för att ifall A samt B existerar numeriskt värde m×n-matriser, sålunda definieras C=A − B genom

Multiplikation tillsammans skalär

[redigera | redigera wikitext]

Om ett matris A samt enstaka skalärk existerar givna, definieras multiplikationen sålunda för att angående

gäller

Exempel:

Matrismultiplikation

[redigera | redigera wikitext]

Produkten AB från numeriskt värde matriser A samt B existerar endast definierad ifall antalet kolumner inom A existerar lika tillsammans med antalet rader inom B.

ifall A existerar ett m×n-matris (m rader, n kolumner) samt B ett p×q-matris, existerar produkten AB endast definierad angående n = p samt produkten BA existerar endast definierad ifall q = m.

Om C = AB gäller

Noterbart existerar för att AB existerar ett m×q-matris.

Exempel:

Matrismultiplikation besitter egenskaperna

• ()C = A() på grund av varenda k×m-matriser A, m×n-matriser B samt n×p-matriser C (associativitet).
• (A + B)C = AC + BC på grund av samtliga m×n matriser A samt B samt n×k-matriser C (distributivitet).
• C(A + B) = CA + CB till varenda m×n-matriser A samt B samt k×m-matriser C (distributivitet).

Kommutativitet gäller ej inom detta allmänna fallet.

angående A existerar enstaka m×n-matris samt B enstaka n×m-matris sålunda existerar uppenbarligen ej AB = BA eftersom AB besitter dimensionen m×m samt BA existerar från dimension n×n.

En enhetsmatris fungerar alltsËša som en etta vid multiplikation

Även angående både A samt B existerar från dimension m×m gäller AB = BA endast inom speciella fall.

Två matriser A samt B säges existera antikommutativa ifall AB = −BA. liknande matriser existerar viktiga inom representationer från Liealgebror samt Cliffordalgebror.

Transponat

[redigera | redigera wikitext]

Transponering existerar ett operation liksom bildar ett matris genom för att rader samt kolonner på grund av enstaka given matris byter ställe. ett m×n-matris A äger således ett n×m-matris likt sitt transponat. Transponatet mot enstaka matris betecknas

där

Exempel:

Det gäller även för att

Kvadratiska matriser samt relaterade dimensioner

[redigera | redigera wikitext]

• För ett kvadratisk matris existerar antalet rader samt antalet kolumner lika.

  Den betecknas n×n-matris.

• Enhetsmatriser, vilka betecknas I, alternativt I_n angående dimensionen specificeras, existerar matriser var diagonalens element existerar 1 samt övriga element 0.
  Alla inverterbara matriser är enheter i ringen och alla icke-inverterbara matriser är nolldelare

  tillsammans andra mening gäller för att I[i, j] = 1 angående i = j samt 0 angående i ≠ j.

• En kvadratisk matris A kallas inverterbar angående detta finns ett matris B sådan för att AB = BA = I. B kallas A:s invers samt betecknas A⁻¹.

  Även till vissa icke-kvadratiska matriser, A, är kapabel man hitta matriser B samt C liknande för att BA = inom samt AC = inom. detta gäller då inom allmänhet för att B ≠ C. B kallas då vänsterinvers samt Chögerinvers.

• Om λ existerar en anförande samt v enstaka vektor sådana för att Av = λv kallas vegenvektor samt λegenvärde mot A.

  varenda kvadratisk matris äger detaljerad nkomplexa egenvärden.

• Determinanten till enstaka diagonaliserbar matris existerar produkten från dess n egenvärden.
  Karakterisering av inverterbara matriser H¨ar ger vi ett alternativt bevis f ¨or satsen om n ¨ar en matris ¨ar inverterbar

  Inverterbara matriser existerar noggrann dem såsom bara besitter nollskilda egenvärden.

• Gauss–Jordan-elimination existerar ett algoritm likt kunna användas på grund av för att beräkna ett matris determinant, rang samt egenvärden samt till för att åtgärda raka ekvationssystem.
• En kvadratisk matris spår existerar summan från dess diagonalelement, vilken även existerar summan från dess egenvärden.
• Alla ortogonala matriser existerar kvadratiska.
• Genom för att utnyttja formella Taylorserier förmå ytterligare operationer göras vid kvadratiska matriser.

  vid därför vis förmå mot modell definieras, självklart vissa villkor vid elementen inom matrisen på grund av för att garantera konvergens.

• Kvadratiska matriser från given storlek bildar ett fingerprydnad tillsammans objekt beneath matrisaddition samt matrismultiplikation. samtliga inverterbara matriser existerar enheter inom ringen samt varenda icke-inverterbara matriser existerar nolldelare.

  detta senare kunna inses genom för att välja enstaka matris vars kolonner består från icke-noll vektorer X sådana för att AX = 0. liknande vektorer finns per definition då A ej existerar inverterbar.

Invers

[redigera | redigera wikitext]

En n×n-matris A existerar inverterbar angående detta existerar ett n×n matris B sådan för att

Om detta existerar fallet existerar matrisen B entydigt bestämd från A samt kallas inversen mot A samt betecknas A^-1.

En kvadratisk matris vilket ej existerar inverterbar kallas singulär.

D a ar f oljande villkor ekvivalenta: (i) radrang(A) = n

enstaka matris existerar singulär ifall samt endast ifall dess determinant existerar lika tillsammans 0.

Egenskaper hos inverterbara matriser

[redigera | redigera wikitext]

Inversen från ett inverterbar matris A existerar även inverterbar tillsammans med inversen

.

Inversen från enstaka inverterbar matris A multiplicerad tillsammans med ett nollskild skalär k existerar ett vara från inverserna från både matrisen samt skalären

.

För enstaka inverterbar matris A existerar transponatet från inversen lika tillsammans inversen från transponatet

Produkten från numeriskt värde inverterbara matriser A samt B från identisk storlek existerar inverterbar tillsammans med inversen

(Observera för att A samt B äger bytt plats.)

Icke kvadratiska matriser

[redigera | redigera wikitext]

Även till vissa icke-kvadratiska matriser, A, är kapabel man antingen hitta ett matris B sådan för att BA&#;=&#;I, eller hitta ett matris C sådan för att AC&#;=&#;I.

B' respektive C kallas då vänsterinvers respektive högerinvers. (Om enstaka matris äger både enstaka vänsterinvers B samt enstaka högerinvers C, sålunda måste B&#;=&#;C samt existera invers mot A, likt från rangskäl därför måste artikel kvadratisk.)

Matriser tillsammans vissa egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Reellvärda matriser

[redigera | redigera wikitext]

Matrisen A är:

Komplexvärda matriser

[redigera | redigera wikitext]

Matrisen M är:

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]

• Wikimedia Commons äger media såsom rör matris.