Skillnad största värdxe och lokalt minima

I detta förra avsnittet undersökte oss något som ökar i storlek eller antal samt avtagande funktioner  och hur sådana förändringar hänger ihop tillsammans derivatan inom olika punkter vid ett kurva.

Nu bör oss titta närmare vid en från dem fall liksom oss hittade inom detta förra avsnittet - fallet då derivatan existerar lika tillsammans med noll samt tangenten inom ett sådan punkt alltså existerar horisontell (den existerar parallell tillsammans x-axeln).

f) Det globala extremvärdet kallas även för största och minsta värdet

oss bör även titta närmare vid då ett funktion antar sitt största alternativt minsta värde.

Derivatans nollställen

Varför existerar just liknande punkter var derivatan existerar lika tillsammans med noll särskilt intressanta? Jo, angående derivatan existerar noll samt tangenten alltså existerar horisontell tillsammans med x-axeln, då betyder detta för att oss vid kurvan befinner oss högst uppe vid enstaka "topp" (vad oss inom fortsättningen kommer för att kalla enstaka maximipunkt), längst bort ner inom enstaka "dal" (en minimipunkt) alternativt vid ett "terrass" (en terrasspunkt).

enstaka terrasspunkt existerar enstaka punkt liksom vid båda sidor ifall sig besitter ett något som ökar i storlek eller antal kurva alternativt vid båda sidor enstaka avtagande kurva.

Ett gemensamt term såsom används på grund av maximi- samt minimipunkter existerar extrempunkter, eftersom oss inom dessa punkter äger funktionsvärden såsom existerar högre (maximipunkt) alternativt lägre (minimipunkt) än omgivande funktionsvärden på grund av kurvan.

---

I figurerna nedan visar oss modell vid hur maximipunkter, minimipunkter samt terrasspunkter är kapabel titta ut

Några typiska funktioners grafer

Vi är kapabel äga nytta från för att uppleva igen samt uppleva mot huvuddragen inom hur ett polynomfunktion från högre grad ser ut.Det finns var numeriskt värde saker såsom existerar viktiga för att notera samt vilket existerar dem ledande faktorerna till grafens utseende.

detta inledande existerar tecknet vid koefficienten före termen tillsammans den största exponenten (positiv alternativt negativ), detta andra existerar hur massiv den största exponenten existerar. oss visar nedan tre modell vid grafer tillsammans olika största exponent.

Det är ett globalt max/min om det är det absolut största/minsta värde kurvan kan anta och ett lokalt max/min om kurvan kan anta ett större/mindre värde någon annan stans

x² - kurvor
Positiv koefficient framför x²

Negativ koefficient framför x²

x³- kurvor
Positiv koefficient framför x³

Negativ koefficient framför x³

x⁴- kurvor
Positiv koefficient framför x⁴

Negativ koefficient framför x⁴

Lokala extrempunkter samt extremvärden

En funktion förmå anta sitt största alternativt minsta värde inom extrempunkter (maximipunkter alternativt minimipunkter) alternativt inom intervallets ändpunkter.

enstaka funktion är kapabel artikel definierad på grund av en visst intervall samt detta existerar inom start samt slutet från intervallet såsom existerar intervallets ändpunkter.

Vi tittar närmare vid funktionen nedan samt dess graf. oss önskar undersöka funktionens extrempunkter, extremvärden samt ifall den äger en största alternativt minsta värde.

$$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$$

I denna graf besitter oss markerat en maximivärde (a) samt en minimivärde (b).

oss vet för att (a) samt (b) existerar extrempunkter eftersom tangentens lutning inom dessa punkter existerar horisontell samt punkten (a) ligger vid enstaka "topp" samt punkten (b) ligger inom enstaka "dal".

Vi förmå hitta dessa punkters koordinater utifrån den kunskap oss besitter angående derivatan mot funktionen.

eftersom detta existerar extrempunkters koordinater oss söker, vet oss för att tangenterna existerar utan lutning - derivatan inom dessa punkter existerar lika tillsammans noll, vilket oss är kapabel använda:

$$f'(x)=0$$

Vi behöver därför derivera funktionen, sedan sätta uttrycket lika tillsammans noll samt slutligen åtgärda den ekvation oss får.

Först deriverar oss funktionen i enlighet med dem deriveringsregler vilket oss besitter kommit fram mot tidigare:

$$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$$

$$f'(x)=3x^{2}+4x$$

Sedan sätter oss derivatan lika tillsammans med noll:

$$0=3x^{2}+4x$$

Slutligen löser oss ekvationen (i detta på denna plats fallet går ekvationen för att åtgärda tillsammans nollproduktmetoden, vilket existerar detta enklaste sättet då den existerar tillämpbar, dock oss är kapabel även åtgärda den tillsammans pq-formeln):

$$0=3x^{2}+4x$$

$$0=x(3x+4)$$

$$\begin{align} x_{1} & =0 \\ x_{2} & =-\frac{4}{3} \end{align}$$

Nu besitter oss hittat x-värdena på grund av dem båda extrempunkterna.

Punkter där en funktion antar sitt största eller minsta värde i jämförelse med omgivningen kallas för lokala maximi-eller minimipunkter (förkortas ofta max- och minpunkter)

Sätter oss in dessa x-värden inom f(x) får oss även ut y-värdena inom dessa punkter:

$$f(0)=0^{3}+2\cdot 0^{2}+2=2$$

Det en extrempunkten (b), minimipunkten, ligger inom (0,2).

$$f\left (-\frac{4}{3}\right )=\left ( -\frac{4}{3} \right )^{3}+2\cdot \left ( -\frac{4}{3} \right )^2 +2=$$

$$=-\frac{64}{27}+\frac{32}{9}+2=-\frac{64}{27}+\frac{96}{27}+\frac{54}{27}=$$

$$=\frac{86}{27}$$

Att beräkna funktionsvärdet på grund av den andra extrempunkten (a), maximipunkten, fanns mer komplicerat, dock mot slut hittade oss den samt kunna konstatera för att koordinaterna på grund av punkten existerar (-4/3, 86/27), vilket existerar ungefär (-1,3; 3,2).

Vi är kapabel idag svara vid för att detta dessa värden på grund av punkterna existerar varken detta största alternativt minsta värde till funktionen.

ifall oss undersöker grafens utseende ser oss för att funktionen fortsätter uppåt då oss går längst bort den positiva x-axeln samt fortsätter neråt då oss går längst bort den negativa x-axeln. Detta fortsätter samt funktionen besitter varken en största alternativt minsta värde.

Exempel 1

Bestäm eventuella lokala extrempunkter, extremvärden samt eventuella terrasspunkter mot funktionen \(f(x)= 2x^3-3x^2\).

Vi börjar tillsammans för att derivera \(f(x)\) samt får

$$f'(x) = 2\cdot 3 x^2 -3\cdot 2x= 6x^2-6x$$

Extrempunkter finns var \(f'(x) =0\) därför oss ställer upp samt löser ekvationen

$$f'(x) = 6x^2 -6x = 0$$

$$6x(x-1) = 0$$

Vi får genom nollproduktsmetoden \(x_1 = 0 \) samt \( x_2=1 \)

Vi skapar enstaka teckenstudie på grund av för att besluta karaktären vid punkterna, genom för att sätta in x-värden inom derivatan, dessa x-värden existerar dem på grund av extrempunkterna och några punkter vid sidan angående samt mellan dem till för att titta hur funktionen beter sig.

därför ursprunglig väljer oss x-värden, sätter in inom derivatan samt bryr oss bara ifall svaret blir positivt (då växer funktionen), negativt (då avtar funktionen) alternativt 0 (extrempunkt).

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(0,5\)	\(1\)	\(2\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	växande	maximum	avtagande	minimum	växande

Teckenstudien ger lokalt maximum på grund av \(x=0\) och lokalt minimum på grund av \(x=1\).

oss konstaterar för att terrasspunkt saknas eftersom detta då behövs för att \(f'(x)\) ska existera antingen. positiv alternativt negativ vid båda sidor angående extrempunkten.

Svar:

Maximipunkten ges från \((0,f(0))= (0,0)\)

Minimipunkten ges från \((1,f(1))= (1,-1)\)

Terrasspunkt saknas.

Exempel 2:

Bestäm lokala extrempunkter, extremvärden samt eventuell terrasspunkt mot funktionen \(f(x) = 2x^3-18x\).

Lösning: Vi börjar tillsammans för att söka extrempunkterna samt deriverar funktionen samt sätter derivatan lika tillsammans med noll.

$$f'(x)= 6x^2-18$$

$$f'(x)= 6x^2-18=0$$

$$6x^2= 18$$

$$x^2 = 3$$

$$x_1 = \sqrt{3}$$ 
$$x_2 = -\sqrt{3}$$ 

Vi fullfölja ett teckenstudie till för att besluta karaktären vid punkterna

\(x\)	\(-2\)	\(-\sqrt{3}\)	\(0\)	\(\sqrt{3}\)	\(2\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	växande	maximum	avtagande	minimum	växande

Funktionens maximum fås inom \(x= -\sqrt{3}\) samt minimum inom \(x = \sqrt{3}\), oss sätter in dessa x-värden inom funktionen till för att ett fåtal ut punkternas y-värden.

$$f(-\sqrt{3})= 12\sqrt{3}$$

$$f(\sqrt{3})= -12\sqrt{3}$$

Svar: Extrempunkternas koordinater blir högsta \((-\sqrt{3},12\sqrt{3})\) samt min \((\sqrt{3},-12\sqrt{3})\)

Exempel 3:

Betrakta funktionen \(f(x) = 3x^3+4x\).

besitter funktionen några extrempunkter alternativt terrasspunkter? Rita funktionen inom en koordinatsystem.

Lösning: För för att ta reda vid detta börjar oss tillsammans med för att derivera funktionen

$$f'(x) = 9x^2 +4$$

och söker nollställena då \(f'(x) = 0\)

$$9x^2+4=0$$

$$x^2 = \frac{-4}{9}$$

Det betyder för att derivatan saknar reella nollställen.

En funktion antar alltså sitt största eller minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter

inom sin tur innebär detta för att funktionen \(f(x)\) saknar extrempunkter samt terrasspunkt. ett sådan funktion existerar antingen något som ökar i storlek eller antal alternativt avtagande till samtliga x. Vilket värde vid x vi än väljer därför existerar \(f'(x)>0\). detta betyder för att \(f(x)\) är strängt något som ökar i storlek eller antal på grund av samtliga x.

Vi är kapabel även se i uppgiften för att funktionen existerar ett positiv tredjegradsfunktion eftersom \(x^3\)-termen existerar positiv.

Svar:

Funktionen saknar reella extremvärden samt terrasspunkt.

Funktionsgrafen framträda inom figuren mot höger.

Globala extrempunkter samt extremvärden

Vi lärde oss inom senaste avsnittet för att att fatta beslut eller bestämma något funktioners lokala extrempunkter, extremvärden samt terrasspunkter.

Inom en intervall  a ≤ x ≤ b är kapabel detta finnas extrempunkter x vilket ger största samt minsta värden antingen vilket lokala maximi- samt minimipunkter alternativt liksom ändpunkter a samt b inom intervallet. inom figurerna nedan framträda numeriskt värde grafer vilket förtydligar olika extrempunkter.

I dem fall a samt b tillhör intervallet betecknas detta tillsammans enstaka ifylld punkt inom ändpunkterna, ifall a samt b ej tillhör intervallet existerar ändpunkterna ej ifyllda, vilket även betyder för att funktionen ej existerar definierad inom dem punkterna.

Denna lektion förklarar konceptet med globala extremvärden i matematik

enstaka sådan funktion saknar därför största samt minsta värde inom ändpunkterna. Då måste oss undersöka ifall detta finns andra lokala maximi- alternativt minimipunkter hos funktionen.

Största samt minsta värde betecknas även internationellt maximum respektive internationellt minimum (se figur). enstaka funktion antar alltså sitt största alternativt minsta värde inom derivatans nollställen alternativt inom intervallets ändpunkter.

Huvuddragen från grafen mot enstaka funktion kunna konstrueras tillsammans med hjälp från derivata samt teckenstudie.

Genom teckenstudie från derivatan vid båda sidor angående derivatans nollställen, alltså var funktionen besitter extrempunkter, förmå oss att fatta beslut eller bestämma något ifall funktionen existerar något som ökar i storlek eller antal alternativt avtagande. existerar derivatan positiv existerar funktionen något som ökar i storlek eller antal, existerar derivatan negativ existerar funktionen avtagande.

vid därför sätt kunna oss ett fåtal vägledning för att skissa grafen mot ett funktion.

Extremvärden är de punkter där en funktion når sitt största (maximum) eller minsta (minimum) värde

för att skissa grafer beskrivs mer inom detalj inom en senare segment.

Ett modell vid teckentabell mot enstaka funktion såsom existerar definierad inom intervallet -2 ≤ x ≤ 6 visas nedan. Lägg symbol mot för att ändpunkterna ingår inom intervallet samt för att oss äger ett terrasspunkt inom \(x=0\), där\( f'(0)=0\) eftersom \(f'(x)\) har negativa värden vid båda sidor ifall \(x=0\) .

Största värde inom intervallet existerar 10 och minsta är -14

\(x\)	\(-2\)	t.ex.\(-1\)	\(0\)	t.ex. \(2\)	\(3\)	t.ex.\(4\)	\(6\)
\(f'(x)\)	\(4\)	\(-\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)
\(f(x)\)	\(10\)	avtagande	\(0\)	avtagande	-14	växande	\(13\)

Exempel 4:  En funktion vilket begränsas från en intervall

I detta på denna plats exemplet tittar oss närmar vid funktionen:

$$f(x)=x^3+3x^2$$

Som existerar begränsad inom intervallet \(-4 \leq x\leq 2\).

Vi önskar ta reda vid detta största samt minsta värdet mot funktionen såsom existerar definierat inom intervallen ovan.

oss börjar tillsammans för att ta reda vid extremvärdena till funktionens extrempunkter.

En enkel regel är att se på vilken grad ekvationen har, alltså värdet på den ledande exponenten

detta görs genom för att inledningsvis derivera samt sätta derivatan mot 0:

$$f'(x)=3x^2+6x$$

$$\begin{align} 3x^2+6x & =0 \\ x(3x+6) & =0 \end{align}$$

Här besitter oss numeriskt värde faktorer vilket bör artikel lika tillsammans 0, detta betyder för att oss är kapabel avläsa inledande faktorn samt titta för att x₁=0, till den andra gäller:

$$\begin{align} 3x+6 & =0 \\ 3x & = -6 \\ x_2 & =-2\end{align}$$

Vi äger alltså hittat numeriskt värde x-värden mot dem extrempunkter vilket oss söker.

oss letar idag efter extremvärdena (y-värdena) inom dessa numeriskt värde punkter.

detta görs genom för att stoppa in dem funna x-värdena inom funktionen:

För x₁=0:

$$f(0)=0^3+3\cdot 0^2 = 0$$

För x₂=-2:

$$f(-2)=(-2)^3+3\cdot(-2)^2=-8+12=4$$

Detta ger för att oss äger extremvärden inom punkterna, vilka existerar y₁=0 (som existerar kandidat till för att existera detta minsta värdet) samt y₂=4 (som existerar kandidat på grund av för att artikel detta största värdet).

För för att artikel säkra vid ifall dessa extremvärden existerar dem största alternativt minsta värdena till funktionen måste oss även testa intervallets ändpunkter, nämligan då x=-4 samt x=2:

$$f(-4)=(-4)^3+3\cdot (-4)^2=-64+48=-16$$

$$f(2)=2^3+3\cdot 2^2=8+12=20$$

De största samt minsta värdena mot funktionen nedsänkt alltså ej inom extrempunkterna, utan inom intervallets ändpunkter.

detta största värdet existerar 20 samt detta minsta värdet existerar -16.